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Bonjour !

Je cherche une démonstration claire du théorème qui dit que si A est une matrice inversible, alors son déterminant est non nul.
J'ai regardé plusieurs sites déjà mais aucun ne s'étend réellement sur le sujet.

Merci de votre aide !



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a huit années et a été effectuée par AD.

Par multiplicativité du déterminant : \det(A)\det(A^{-1})=\det(AA^{-1})=\det(I)=1,,
donc \det(A)\neq0.

Effectivement...

Et dans l'autre sens, c'est aussi simple ?

Presque. Il faut au préalable prouver que ^t \mathrm{Com}(A) A = A ^t \mathrm{Com}(A) = \det(A) I_n où \mathrm{Com}(A) est la matrice des cofacteurs.

Si \det(A) est nul, alors, pour toute matrice B : \det(AB)=\det(A)\det(B)=0, et on ne peut pas avoir AB=I.

Edit : Je redémontre la même chose que mon premier message.

Rectification : Si \det(A) est non nul, les colonnes de A sont linéairement indépendantes, A est de rang maximal, donc X \mapsto AX est un automorphisme de l'espace des matrices-colonnes, et A est inversible.

Parfait, merci beaucoup à vous deux !

Pour la réciproque, il faut supposer que A est une matrice à coefficients dans un corps.

Dans un anneau quelconque, A est injective ssi det(A) est un élément régulier*** de l'anneau (et ce n'est pas un résultat spécialement facile** en fait)

*** "a est régulier" est l'abréviation de " \forall x: ax=0=> x=0"

** entre autre, une des manifestations que ce n'est pas si simple se voit dans le raisonnement de toto (qui ne justifie pas que la matrice transposée des cofacteurs est non nulle, il n'en a pas besoin présentement, mais dans un anneau, ça ne prouve que le sens det(A) inversible =>A inversible)

Ce fut un peu mon "chemin de croix" sur le forum.

Il y a une "manière douce" de prouver tout ça qui consiste à passer par plusieurs étapes, dont une importante où le déterminant est essentiel (je veux dire par là que je n'ai jamais réussi à éliminer à la fois le déterminant et les formes linéaires d'une preuve de l'énoncé, bien que l'énoncé lui-même n'en parle pas):

Si une matrice A est injective alors il existe un élément régulier r de l'anneau et un vecteur w tel que Aw=(0,0,...,0,r).

Pour prouver cet énoncé, il suffit de savoir que det(A)=0 => les colonnes de A sont liées, ce qui s'obtient facilement à partir de la propriété du déterminant de Light Basses Pink Baskets Levi's Malibu Réduction Tomber Femme Rose "se calculer en développant suivant une ligne ou une colonne".

Citation

Effectivement...

Et dans l'autre sens, c'est aussi simple ?

Attention: tu répondais ça à la solution que te propose gb, qui admet que det(AB ) = det(A) . det(B)

Or ce dernier point est Très difficile (du moins si on interprete ta question comme "je veux vraiment en être convaincu à partir des seules définitions relativement facilement équivalentes du déterminant")

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ofcourse, je dis ça en supposant que la def du déterminant n'est pas somme sur toutes les permutations s des signature de s fois blabla (qui elle-même me semble très difficile à relier aux autres, bon tout est relatif :D ... ).

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Sur un anneau, je ne sais pas, mais sur un corps, la multiplicativité du déterminant ce n'est pas bien dur, quand même...

Bin normalement c'est la même chose, ie si ce n'est pas dur sur un corps, c'est censé ne pas l'être sur un anneau?

Après peut-être fais-tu référence à de la continuité?

Par exemple, en admettant qu'on ait tout oublié, peut-être peut-on (sur la base de la résolution "à la main" des systèmes linéaires) se faire les remarques intuitives suivantes:

1) si A est une la matrice générique inversible (ie dans \Z(X_{11},...,X_{nn}) ) d'inverse B appelons "à l'arrache", det(A) "un" dénominateur commun "canonique" des coefficients de B. De sorte qu'on obtient une matrice A* à coefficients dans l'anneau des polynomes et pas seulement le corps des fractions précédent.

2) Pour deux matrices A,A' inversibles d'inverses respectifs B,B' la matrice BoB' est l'inverse de la matrice A'oA et "canoniquement", on multiplie les dénominateurs, en ce sens que A* = det(A).B et A'* = det(A').B' ce qui fait deviner que det(A'oA). (BoB') =(A'oA)* et comme det(A').det(A).(BoB') est aussi égal à (A'oA)* ...

Effectivement, ces idées "astrologiques" permettent de réinventer les déterminant des matrices inversibles dans un corps. Après, il faudrait "fixer" une manière d'inverser la matrice générique et aussi étendre par une sorte de densité tout ça aux matrices quelconques dans un corps. Mais ça n'a rien d'une preuve.

D'ailleurs, il doit pouvoir y avoir "preuve rigoureuse" qui semble pourvoir "commencer" par ça et donner presque un nom "avant" à la transposée de la comatrice, pour ensuite en "déduire" le "nombre" déterminant

La question étant comment ensuite retrouver que c'est la bonne notion de déterminant qu'on retrouve ainsi? (sans trop de calculs)

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Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a huit années et a été effectuée par christophe chalons.

\det(A) est défini sur \R (corps infini) donc défini en remplaçant les coefficients de A par des indéterminées A_{i,j} et en se plaçant dans l'anneau \Z[A_{i,j};i,j\in\{1,\ldots,n\}]. Par substitution \det(A) est défini pour A matrice à coefficients dans un anneau commutatif unitaire quelconque.

La relation \det(AB ) = \det(A) \, \det(B) étant vraie pour des matrices A et B à coefficients dans \R (corps infini), on en déduit qu'elle est encore vraie en remplaçant les coefficients de A et de B par des indéterminées A_{i,j} et B_{p,q} et en se plaçant dans les matrices à coefficients dans l'anneau \Z[A_{i,j},B_{p,q};i,j,p,q\in\{1,\ldots,n\}].
Il en résulte par substitution que la relation \det(AB ) = \det(A) \, \det(B) est vraie pour des matrices à coefficients dans un anneau commutatif unitaire quelconque. Pantone Marque Chaussures Célèbre Femmes Mode Tokyo Argent Baskets qBx5nBHC

Citation

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La relation \det(AB ) = \det(A) \, \det(B) étant vraie pour des matrices A et B à coefficients dans \R (corps infini),

Mais c'est la "facilité" de cette affirmation en citation qui est "en débat" (enfin, léger)

[La case LaTeX. AD]

La relation étudiée se prouve en 3 lignes en utilisant les formes n-linéaires alternées. Pourquoi tout ce débat alors ?

ah oui? ;) (je demande à voir comme on dit souvent)

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Ben B\mapsto \det(AB) est n-linéaire alternée par rapport aux colonnes de B, donc est de la forme \det(AB)=\alpha \det(B). Ensuite on fait B=I. Moins de trois lignes, non ?

Très joli, merci, mais comment on prouve que ton application est n-linéaire alternée (je veux dire, avec quelle "définition honnête" du déterminant)?

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De mon point de vue, la meilleure définition du produit matriciel, c'est d'écrire la deuxième matrice comme une ligne de vecteurs, ce qui donne
AB=A(b_1\,b_2\,\cdots\,b_n)=(Ab_1\,Ab_2\,\cdots\,Ab_n).
Sous cette forme, c'est donc évident.

a oui merci, mais alors, tu reviens à la def "académique" du déterminant comme générateur de l'espace des formes alternées (+ le fait de se dire que c'est de dim 1).

Initialement, je disais que justement, si on s'abstient de supposer connu le (ou "un") déterminant "de cette manière" (je sais c'est bizarre, vu que c'est sa def dans les facs), ça parait plus difficile (du moins à moi).

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remarque écrivait:
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> Ben B\mapsto \det(AB) est n-linéaire alternée
> par rapport aux colonnes de B, donc est de la
> forme \det(AB)=\alpha \det(B). Ensuite on fait
> B=I. Moins de trois lignes, non ?


Oui mais pourquoi aurait-on \det(AB)=\alpha \det(B) ? Je pense qu'il faudrait démontrer auparavant que l' ev des formes linéaires alternées est de dimension 1. Le tout doit prendre un peu plus que 3 lignes..

Bof, ça dépend de la largeur de la ligne...:D en tout cas, ce n'est pas quelque chose de difficile.

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